1.- Dado el vector P de coordenadas cartesianas (3,4,0), calcular el valor de t para que el vector primera derivada con respecto a t, del vector Q= t²i - (3t + 2) j + t³ k sea perpendicular al vector P.

1. t = 1
2. t = 3
3. t = 2
4. t = 5

2.- El ángulo que forman las diagonales de un cubo tiene por valor:

1. 32° 43'
2. 45°
3. 70° 31' 43’’
4. 90°

3.- El momento de un vector respecto de un eje y el momento de un vector respecto de un punto, son respectivamente una magnitud:

1. vectorial y escalar
2. vectorial y vectorial
3. escalar y escalar
4. escalar y vectorial

4.- Siendo los vectores A, B y C los que definen las tres aristas de un paralelepípedo, ¿qué representa (A x B) . C ?

1. La proyección de C sobre el plano determinado por A y B.
2. La superficie total del paralelepípedo.
3. El volumen del paralelepípedo.
4. La mitad de la superficie total del paralelepípedo.

5.- Dada la magnitud escalar A definida por la ecuación A=x²y+3xyz – 3z²; el módulo del vector gradiente de dicha magnitud en el punto M(1,0,0) es:

1. 1
2. 7
3. 3^1/2
4. 0

6.- ¿En cuál de las siguientes propuestas existe alguna magnitud que no es vectorial?

1. Area de una superficie, Campo eléctrico.
2. Momento de inercia, Campo magnético
3. Momento angular, Fuerza
4. Momento de una fuerza, Campo gravitatorio

7.- Señale la proposición verdadera dado el vector: r(t)=(Acos wt) i+(Asen wt) j

donde A es una constante y t es una variable escalar, el vector derivada: dr/dt:

1. Es un vector unitario en la misma dirección que el vector
2. El producto escalar del vector r y el vector derivada no es nulo.
3. Es perpendicular, al vector r y su módulo es Aw
4. Tiene la misma dirección y sentido que el vector r.

8.- Señale el valor del ángulo que forman dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud cuando su resultante forma un ángulo de 50 grados con el vector mayor.

1. 123,25
2. 73,25
3. 56,75
4. 93,25

9.- Sean las coordenadas de los vértices de un triángulo A(1,3,1) B(0,0,2) y C(1,0,0). indique el módulo de su área.

1. 6,78
2. 2,13
3. 0
4. 3,39

10.- El vector de posición de una partícula de masa 10 Kg viene dado por r= 2t²u_x + 3tu_y (t en segundos). Calcular el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula respecto al origen.

1. –120 t u_z Nm
2. 120 t uz Nm
3. 2 t² u_x Nm
4. –2 t² u_x Nm

11.- De las siguientes proposiciones sobre vectores, ¿cuál de ellas es cierta?:

1. Libres: cuando pueden trasladarse a lo largo de su dirección.
2. Deslizantes: cuando se pueden trasladar paralelamente así mismos a un punto origen arbitrario.
3. Ligados: cuando su punto de aplicación, su dirección y su sentido son fijos e invariables.
4. Fijos: cuando su punto de aplicación es fijo, pero su módulo y dirección pueden variar.

12.- Señale cuál de los siguientes campos de fuerzas es conservativo:

1. F = xy²z i + ( x -y ) j + ( y²-x²z ) k;
2. F = 3e^2x i –sen y j + x² k
3. F = 3xy i - 2y² j
4. F = 2xy i + x² j

13.- Dada la relación a + b + c + d = , los puntos A,B,C y D estarán en el mismo plano cuando se cumpla la relación entre escalares:

1. a + b+ c + d = 0
2. - ( 2a + b ) = c + d
3. - ( 2a + 2b ) = c + d
4. - 2( a + b ) + ( c - d ) = 0

14.- Dados los siguientes vectores: V₁ = i + j + k ; V₂ = i – k ; V₃ = i – j + k, señale cuál de las siguientes proposiciones que se refieren al vector V₄ = i - k es la verdadera:

1. Se trata de V₁ x V₃
2. Se trata de V₁ x ( V₂ x V₃ )
3. Es un vector de módulo 2 y perpendicular al plano que definen V₁ y V₃ .
4. Es la proyección del vector V₁ x ( V₂ x V₃ ) en la dirección de V₁ + V₂.

15.- Si los lados de un cuadrilátero están orientados de modo que el origen del vector correspondiente a un lado no pueda ser extremo de otro, será fácil de confirmar que el vector que une los puntos medios de las diagonales será:

1. La diferencia vectorial de las diagonales.
2. La cuarta parte de la suma vectorial de los lados.
3. El doble de la diferencia vectorial de las diagonales.
4. Un vector perpendicular al plano del cuadrilátero, cuyo módulo es la cuarta parte de la suma vectorial de las diagonales.

16.- Siendo a = 2 cos t i + 2 sen t j + 2 sen 2t k, el módulo de la derivada de a respecto de t para t=22,5º es de:

1. 2
2. 
3. /2
4. 

17.- Dado el vector b = 10 i + 10 j + 10 k aplicado en el origen del referencial (0 , i , j , k):

1. Su vector unitario es i + j + k
2. Es perpendicular a 10 i + 10 j - 10 k
3. Cada uno de sus cosenos directores vale tan (10+10+10)
4. Su momento con respecto a cualquiera de los tres ejes x,y,z es idéntico y mayor que cero.

18.- Un vector V (6,-3,4) tiene su punto de aplicación en P (3,-6,2), en referencia a un sistema OXYZ. ¿Cuáles serán, respectivamente el momento del vector respecto al origen O y respecto al punto O’ (2,3,1)?

1. –18 i + 27 k -33 i + 2 j + 51 k
2. –18 i + 17 k -33 i + 8 j + 47 k
3. –18 i + 11 k -33 i – 8 j + 37 k
4. –18 i + 21 k -33 i + 2 j – 47 k

19.- Dado el vector V ( 3, -6, 8 ) cuyo origen es el punto P ( 2, 1, 2 ), ¿ cual será su momento respecto al eje definido por la ecuación (x-2)/2=(y-5)/3=(z-3)/6?

1. –77/4
2. –89/7
3. –13/7
4. –98/9

20.- Si el vector v = cos wt i + sen wt j (siendo w constante y t variable), la siguiente afirmación es correcta:

1. La derivada dv/dt es constante en todo instante.
2. Los vectores v y dv/dt son perpendiculares.
3. Los vectores v y dv/dt son paralelos.
4. El módulo de v es igual a tan (wt).

21.- Dados los vectores a = 3i + 2j - k ; b = -i-j+2k y c = 3i -j +k , se cumple que:

1. La proyección de a sobre b es -7 .
2. El vector a está contenido en el plano z = 0.
3. El producto vectorial b x c es i + 7j + 4k .
4. Los vectores a y c son paralelos.

22.- El origen de un vector es el punto A(3,-1,2) y su extremo B (1,2,1). ¿Cual es su momento respecto al punto C(1,1,2)?

1. 2i+2j+2k
2. –5i - j+7k
3. 5i + j –7k
4. –2i –2j + 3k

23.- Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionales a 1, 5 y a y sus componentes lo son a 1, a y b . Además, sus momentos respecto de los ejes de coordenadas son proporcionales a 1,2 y 3. ¿Cuánto valen a y b ?

1. a =2 y b =3
2. a =1 y b =2
3. a =5 y b =5
4. a =2 y b =2

24.- ¿Cuál será el momento del vector v (1,-3,2) de origen P (1,1,0) respecto del eje que pasa por los puntos A (1,0,-1) y B (2,1,1)?

25.- ¿Cuál es el vector producto vectorial donde =2i – j +2k y representa el momento del vector = i –2j – k, aplicado en el punto B(1,2,0), con respecto al origen O de coordenadas?

1. 2i + 4j + 0k
2. –2i + 4j + 2k
3. 4i + 2j –2k
4. 2i – 4j + 0k

26.- En dos postes verticales separados por una distancia de 24 m se atan, a la misma altura, los extremos de un cable de 26 m de longitud y masa despreciable. Si en el punto medio del cable se ejerce una fuerza vertical hacia debajo de 200 Kp. ¿cuál será la tensión del cable?

1. 120 Kp.
2. 190 Kp.
3. 260 Kp.
4. 380 Kp.

27.- Un auto está atado a un árbol por una cuerda de 15 m de longitud. Un hombre ejerce una fuerza de 50 Kg en el punto medio de la cuerda, desplazándola lateralmente 60 cm. La fuerza ejercida sobre el auto será:

1. 417,2 Kg
2. 390,3 Kg
3. 250,1 Kg
4. 313,5 Kg

28. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales A y B son vectores libres con expresión general: A = 5i + 4j + 7k y B =i + k

1. 3
2. 6
3. 10
4. 

29. Calcular el módulo del vector que resulta al sumar al vector a = i - 3k aplicado en el punto A (1,-1,-5) su momento respecto al punto B(2,-3.0).

1. 
2. 4
3. 
4. 5

30. Cuando la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo modulo, entonces se cumple que:

1. Son paralelos
2. Forman un ángulo de 30°
3. Forman un ángulo de 60°
4. Son perpendiculares

31.‑ Para sacar a un automóvil de una zanja, se ata el extremo A de una cuerda AOB a un árbol y el otro extremo B al automóvil. En el punto medio O de la cuerda AB se ejerce un empuje de 100 Kp en dirección perpendicular a AB. Sabiendo que el ángulo AOB es 160º, el valor de la tensión T de la cuerda es:

1. 196,96 Kp

2. 283,56 Kp

3. 287,9 Kp

4. 575,87 Kp

32. Una partícula que se mueve a lo largo de una curva de ecuaciones:  x=t²; y= - 2 t + 1; z=2t² - t. Hallar la expresión de la componente de la velocidad según la dirección del vector 2i + 2j ‑ k.

1. ‑1

2. 2‑4t

3. 1/3 (2 ‑ 4 t)

4. ‑ t